Тригонометрический многочлен

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx)) }[/math],

где аргумент и коэффициенты [math]\displaystyle{ x, a_k , b_k \in \R }[/math], а [math]\displaystyle{ k = 1,2,...,n }[/math].

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ikx} }[/math],

где [math]\displaystyle{ c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2}, c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2} }[/math].

Эта функция бесконечно дифференцируема и [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]-периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.
• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.